高维随机矩阵相干性极限分布的相变

随机矩阵的相干性定义为矩阵列间皮尔逊相关系数的最大绝对值，是高维统计和信号处理等广泛应用中的重要量。受这些应用启发，本文研究了$n\times p$随机矩阵相干性的极限律，覆盖了维度$p$的完整范围，特别关注超高维情形。假设随机矩阵的列是独立随机向量且服从共同的球面分布，我们完整刻画了相干性极限分布的行为。具体而言，分别在三种情形下推导了相干性的极限分布：$\frac{1}{n}\log p \to 0$、$\frac{1}{n}\log p \to \beta\in (0, \infty)$和$\frac{1}{n}\log p \to\infty$。结果表明，相干性的极限行为在不同情形下显著不同，并随着维度$p$作为$n$的函数增长而展现出有趣的相变现象。本文还讨论了在超高维情形下对统计和压缩感知的应用。