第三阶零模的微扰与非微扰分析

Kraichnan 湍流被动标量平流模型中 n 阶关联函数 $F_n$ 的反常标度行为被认为由 Kraichnan 方程 $\hat{B}_n F_n=0$ 的齐次解（零模）所主导。本文对各向同性 sector 中最简单的（非平凡）情形 n=3 进行了广泛分析。模型的主要参数记为 $\zeta_h$，表征涡扩散率，取值区间为 $0\le \zeta_h \le 2$。选取适当变量后，我们可以在射影二维圆上给出零模的计算机辅助非微扰计算。在此表示下，在 $\zeta_h\to 0$ 极限中对零模标度指数 $\zeta_3$ 进行微扰计算也非常容易，我们展示了该极限下微扰计算与非微扰计算之间的定量一致性。另一个有趣的极限是 $\zeta_h\to 2$。该第二极限是奇异的，需要利用奇摄动理论技术研究边界层。我们对该极限的分析表明标度指数 $\zeta_3$ 按 $\sqrt{\zeta_2/\log{\zeta_2}}$ 衰减。在该极限下微扰计算同样与非微扰计算一致。