布朗蜂群规模的持续涨落

“布朗蜂”模型描述了一个由 $N$ 个独立的分支布朗粒子组成的系统。在每次分支事件中，距离原点最远的粒子被移除，从而粒子数始终保持不变。Berestycki 等人（2020）证明，在 $N\to \infty$ 时，该粒子系统的粗粒化空间密度存在于一个球对称区域中，并由一个确定性反应扩散方程自由边界问题的解所描述。此外，他们表明，在长时间下，该解趋于一个唯一的具有紧支集的球对称稳态：一个半径 $\ell_0$ 依赖于空间维数 $d$ 的球。本文研究在 $N$ 很大时由于分支布朗运动的随机性所引起的该系统涨落，并聚焦于蜂群规模的持续涨落。我们评估了概率密度 $\mathcal{P}(\ell,N,T)$，即在时间区间 $0<t<T$（$T$ 非常大）内，粒子距原点的最大距离始终小于给定值 $\ell<\ell_0$ 或始终大于给定值 $\ell>\ell_0$ 的概率。我们认为 $\mathcal{P}(\ell,N,T)$ 呈现大偏差形式 $-\ln \mathcal{P} \simeq N T R_d(\ell)$。对所有 $d$，我们得到了速率函数 $R_d(\ell)$ 在 $\ell \ll \ell_0$、$\ell\gg \ell_0$ 和 $|\ell-\ell_0|\ll \ell_0$ regimes 下的渐近行为。对于 $d=1$，整个速率函数可解析计算。我们通过确定在给定 $\ell$ 条件下蜂群的最优（最概然）密度剖面，并论证该密度剖面是以原点为中心的球对称，从而得到这些结果。