一维情形下谱的周期性

实数轴上一个勒贝格测度为 1 的有界可测集 $\Omega$ 被称为谱集，如果存在一个实数集 $\Lambda$（“频率”）使得指数函数 $e_\lambda(x) = \exp(2\pi i \lambda x)$, $\lambda\in\Lambda$, 构成 $L^2(\Omega)$ 的完备标准正交系。这样的集合 $\Lambda$ 被称为 $\Omega$ 的一个{\em 谱}。在本笔记中，我们证明有界可测集 $\Omega\subseteq\RR$ 的任何谱 $\Lambda$ 都必须是周期的。