中心力问题的周期扰动及其在受限三体问题中的应用

我们考虑形如 \begin{equation*} \ddot x = V'(|x|) \frac{x}{|x|} + \varepsilon \,\nabla_x U(t,x), \quad x \in \mathbb{R}^{2} \setminus \{0\}, \end{equation*} 的中心力问题扰动，其中 $\varepsilon \in \mathbb{R}$ 为小参数，$V\colon (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ 与 $U\colon \mathbb{R} \times (\mathbb{R}^{2} \setminus \{0\}) \to \mathbb{R}$ 为光滑函数，且 $U$ 关于第一变量是 $\tau$-周期的。基于为未扰动问题（$\varepsilon=0$）引入的合适时间映射（径向周期与拱点角）及相关的非退化条件，我们应用高维版本的 Poincar\'{e}-Birkhoff 不动点定理，证明存在从 $\varepsilon=0$ 处不变环面分岔出的非圆 $\tau$-周期解。随后我们证明，该非退化条件对一些具有物理意义的具体例子（包括齐次势 $V(r)=\kappa/r^{\alpha}$，其中 $\alpha\in(-\infty,2)\setminus\{-2,0,1\}$）成立。最后，给出了一个具有非牛顿相互作用的受限 $3$-体问题的应用。