全空间上含二维情形的 Navier--Stokes 方程的时间周期解

考虑在全空间 $\mathbb{R}^n$ ($n\geq 2$) 中具有时间周期外力的不可压缩 Navier--Stokes 方程，并研究时间周期解的存在性与不存在性。在高维情形 $n \geq 3$ 下，我们在 Besov 型尺度临界空间中为给定的小时间周期外力构造了唯一的小解，并证明了其在小扰动下的稳定性。相比之下，对于二维情形 $n=2$，Navier--Stokes 方程的时间周期可解性长期以来一直是一个开放问题。本文的核心工作是通过提供小外力的例子，使得每个外力均不产生时间周期解，从而成功地对该问题给出了否定回答。