阿基米德格子上随机旋转斑驳粒子的渗流阈值

我们研究了二维中 $11$ 种阿基米德格子上随机旋转斑驳粒子的渗流。格子的每个顶点被一个粒子占据，并且在每个模型中，斑驳的大小和数量都是单分散的。当粒子表面有多个斑驳时，它们呈对称分布。随着粒子表面被斑驳覆盖的比例 $\chi$ 的增加，由斑驳连接的团簇不断增长，系统在阈值 $\chi_c$ 处发生渗流。我们结合 Monte Carlo 模拟和临界多项式方法，给出了在 $11$ 种格子上具有一到六个斑驳的圆盘和具有一到两个斑驳的球体的 $\chi_c$ 的精确估计。对于单斑驳粒子，我们发现不同格子上粒子的 $\chi_c$ 值的顺序与相同格子上座渗流的阈值 $p_c$ 值的顺序相同，这意味着单斑驳粒子的 $\chi_c$ 主要取决于格子的几何结构。对于具有更多斑驳的粒子，对称性在决定 $\chi_c$ 时变得非常重要。通过对具有一到六个斑驳的圆盘的 $\chi_c$ 估计，借助与对称性相关的分析，我们能够给出所有 $11$ 种格子上具有任意数量斑驳的圆盘的 $\chi_c$ 精确值。对于这些格子上的每一种，斑驳圆盘均满足以下规则：(i) 随着斑驳数量 $n$ 的增加，$\chi_c$ 值以周期性方式重复，其周期 $n_0$ 由格子的对称性决定；(ii) 当 $\mod(n,n_0)=0$ 时，出现最小阈值 $\chi_{\rm min}$，且该模型等价于座渗流，满足 $\chi_{\rm min}=p_c$；(iii) 满足 $\mod(n,n_0)=m$ 和 $n_0-m$（$m<n_0/2$）的圆盘具有相同的 $\chi_c$ 值。