无惩罚间断 Galerkin 方法

在本文中，我们提出了一种新的高阶间断 Galerkin (DG) 方法，该方法既不需要惩罚参数也不需要稳定化参数。我们将此方法称为无惩罚 DG (\PFDG)。在该方法中，试函数和测试函数属于破碎 Sobolev 空间，其中函数通常在网格骨架上不连续且不满足 Dirichlet 边界条件。然而，可以在该空间中区分出一个子集，其中函数是连续的并满足 Dirichlet 边界条件，该子集称为容许子集。试解被选择位于一个\emph{增广}容许子集中，其中允许轻微违反连续性条件。该子集是通过对有限元基函数的线性组合应用特殊的增广约束而构建的。在这种方法中，保留了 DG 方法的所有优势，而无需使用稳定性参数或数值通量。我们考虑了多边形（三角形、四边形和弱凸多边形）网格上的几个二维基准问题（Poisson 方程、线性弹性、超弹性和双调和方程），以及六面体网格上的一个三维 Poisson 问题。数值结果表明，该方法在 $L^2$ 范数和能量半范数中具有可靠的精度和最优收敛性。