皮亚诺关于测度的导数、分布集函数的严格导数
历史与综述
2010-02-23 v1 泛函分析
摘要
通过追溯柯西(1841)关于共存量的研究，皮亚诺在《无穷小计算的几何应用》(1887)中定义了“质量”(一种分布集函数)相对于“体积”(一种正分布集函数)的“密度”(严格导数)，证明了其连续性(只要严格导数存在)，并展示了质量-密度范式的有效性：通过关于“体积”的积分，可以从“密度”恢复出“质量”。值得注意的是，皮亚诺的严格导数为自开普勒以来成功使用的两个量之间的“无穷小比”概念提供了一致的数学基础。这样，经典(即前勒贝格)测度理论在皮亚诺的《几何应用》中达到了完整而最终的形式。本文的主要目的是详细阐述皮亚诺1887年关于分布集函数严格导数概念及其应用的工作。此外，我们比较了皮亚诺的工作与勒贝格的《量之测度》(1935)：在这篇论文中，勒贝格受柯西共存量的启发，引入了某些可加集函数的一致导数，这一概念与皮亚诺的严格导数一致。有趣的问题是，勒贝格是否知晓皮亚诺的贡献，以及严格导数或一致导数的概念在当今数学实践中扮演着何种角色。
引用
@article{arxiv.1002.4098,
title = {Peano on derivative of measures, strict derivative of distributive set functions},
author = {Gabriele H. Greco and Sonia Mazzucchi and Enrico M. Pagani},
journal= {arXiv preprint arXiv:1002.4098},
year = {2010}
}
备注
30 pages, on the occasion of the 150th anniversary of the birth of Giuseppe Peano (1858-1932)