带平方根系数的随机热方程解的轨道唯一性

白噪声情形下的随机热方程源自Dawson-Watanabe超过程。其具有非Lipschitz系数的解的轨道唯一性引起了广泛关注，特别是平方根系数情形被列为著名文献（即Perkins \cite{Perkins02} p217）中的一个长期悬而未决的公开问题。本短笺对此公开问题给出了肯定回答。我们的思路是利用Yamada-Watanabe构造的$\varphi_k(x)$函数来证明 \beqlb \lab{key} \E_{\mu}| X_{t}(z)-Y_{t}(z) | = \lim_{k \ra \infty} \E_{\mu}|\int_{\r}\frac{1}{\sqrt{\epsilon_k}} \rho_{\epsilon_k}(z-x)[ X_{t}(x)-Y_{t}(x)]dx |=0 . \eeqlb 然而，$\frac{1}{\sqrt{\epsilon_k}} \rho_{\epsilon_k}(x)=p_{\epsilon_k}(x)$，即稳定核，并非关于$k$一致平方可积，我们不能直接使用热核或稳定核卷积变换。这迫使我们另辟蹊径：分别利用$\varphi_k$和$\varphi^{\prime \prime}_k$的线性与倒数线性性质，先做$\rho_{\epsilon_k}$卷积变换，然后取期望并乘以奇异性因子$\frac{1}{\sqrt{\epsilon_k}}$，最后令$k \ra \infty$来估计并推导出(\ref{key})。通过这种方式，我们避开了涉及奇异性的随机积分项的非一致平方可积性。同样的思路也可用于证明带$\alpha$系数（$1/2 \leq \alpha$）的随机热方程非负解的轨道唯一性，因为基于相同思路，我们可以构造出满足$1/2 \leq \alpha$的$\varphi_k(x)$函数。