秩2量子化双曲Kac-Moody代数上极权模的路径模型

设 $\mathfrak{g}$ 为秩2的双曲Kac-Moody代数，并令 $\lambda=\Lambda_{1} - \Lambda_{2}$，其中 $\Lambda_{1}$、$\Lambda_{2}$ 为基本权。以 $V(\lambda)$ 记极权为 $\lambda$ 的极权模，$v_\lambda$ 为其极权向量；以 $\mathcal{B}(\lambda)$ 记 $V(\lambda)$ 的晶体基，$u_\lambda$ 为对应于 $v_\lambda$ 的元素。我们证明：(i) $\mathcal{B}(\lambda)$ 是连通的；(ii) 对每个整权 $\mu$，$\mathcal{B}(\lambda)$ 中权为 $\mu$ 的元素子集 $\mathcal{B}(\lambda)_{\mu}$ 是有限集，且 $\mathcal{B}(\lambda)_{\lambda} = \{u_\lambda\}$；(iii) $\mathcal{B}(\lambda)$ 中每个极元都包含在 $u_\lambda$ 的Weyl群轨道中；(iv) $V(\lambda)$ 是不可约的。最后，我们证明晶体基 $\mathcal{B}(\lambda)$ 作为晶体同构于Lakshmibai-Seshadri路径的形为 $\lambda$ 的晶体 $\mathbb{B}(\lambda)$。