Lévy 过程在小时刻穿越幂律边界

我们希望刻画 Lévy 过程 $X_t$ 在小时刻 $t$ 以单侧或双侧意义穿越如 $t^\kappa$($\kappa>0$) 边界的情形;即我们探究何时 $\limsup_{t\downarrow 0}|X_t|/t^{\kappa}$、$\limsup_{t\downarrow 0}X_t/t^{\kappa}$ 及/或 $\liminf_{t\downarrow 0}X_t/t^{\kappa}$ 几乎必然(a.s.)有限或无限。对所有 $\kappa>0$ 值给出了这些可能性的充要条件。如我们所证,常在许多 $\kappa$ 值下,当 limsup 几乎必然有限时实则为零,但 limsup 在某些情形下几乎必然取有限非零值。一般而言,过程以十分不同的方式穿越单侧或双侧边界,但令人惊讶的是 $\kappa=1/2$ 情形并非如此。我们给出一积分判别法以区分该情形的各种可能。还给出了关于 $X$ 的其他规范化序列及 $X$ 被非随机函数中心化时的若干结果。