二维库仑气体的分区函数：具有圆形根型与跳跃型奇点的情形

本文研究了随机多项式 $p_n(\rho):=\prod_{j=1}^n (|z_j|-\rho)$，其中点集 $\{z_j\}_{j=1}^n$ 为具有径向对称势的随机正规矩阵特征模的特征值。我们建立了该随机变量在大 $n$ 下的精确渐近展开式：\n$$\mathbb{E}\!\left[e^{\tfrac{u}{\pi}\mathrm{Im}\log p_n(\rho)}\, e^{a\,\mathrm{Re}\log p_n(\rho)}\right], \qquad u\in\mathbb{R}, \; a>-1,$$\n其中 $\rho>0$ 位于谱滴的内部。该渐近展开式以抛物柱函数表示，这确认了 Byun 与 Charlier 的猜想。这也提供了具有一般圆形根型与跳跃型奇点的二维库仑气体的第一批自由能展开。虽然 $a=0$ 的情形因其与计数统计的关系已在文献中广泛研究，但我们也获得了该特殊情况的新结果。