Parry 序的数的分类

我们引入了 \emph{Parry 序} $\mathrm{Ord}_P(\beta)$，定义为最大的整数 $n$，使得 $\beta^n$ 为 Parry 数。这导致了对 Perron 数的自然划分： $$\mathcal{P} = \left( \bigcup_{n \geq 0} H_n \right) \cup H_\infty,$$其中 $H_n$ 为具有 Parry 序 $n$ 的 Perron 数的集合，$H_\infty = S \cup T$ 正好由所有 Pisot 数和 Salem 数组成。我们证明了 Perron 数具有无限多个 Parry 次方当且仅当其为 Pisot 或 Salem。对于其他所有 Perron 数，只有有限多个次方可为 Parry。我们给出了 $\mathrm{Ord}_P(\beta)$ 的显式上界，以 $\beta$ 的代数性质为依据。我们提供了若干非 Parry Perron 数的例子，其次方可变为 Parry，说明多个 $H_n$ 非空且结构丰富。我们给出一族三次非 Pisot 数的显式例子，全部具有有限的 Parry 序，但该族的 Parry 序是无界的。这些结果为 Perron 数建立了新的动力学视角，将 $\beta$ 展开理论与关于 Salem 数和 Lehmer 类猜想的经典问题相联系。