关于 $\mathbb{S}^1 \times \R$ 的 P\'olya 猜想

我们研究了无限圆柱 $\mathbb{S}^{1}\times \R$ 上两种可能的等周域（即测地盘和形式为 $\mathbb{S}^1\times [0,h]$ 的圆柱条）满足 P\'olya 猜想的面积范围。在前者情况下，我们给出了最大半径上界，以至于猜想可能成立；在后者情况下，我们完全描述了这些条满足猜想的 $h$ 的值。作为结果，我们确定了对应于给定面积的 $\mathbb{S}^1\times \R$ 上的等周域满足 P\'olya 猜想的必要且充分条件。在圆柱条的情况下，我们还提供了 Li-Yau 不等式成立的必要且充分条件。