群代数块上的外导子

设$G$为一个有限群，其阶可被域$k$的特征整除。若$B$是$kG$的一个具有亏群$P$的块，我们证明了$kP$上那些可限制为$kG$上导子的导子空间，模掉内导子后，同构于$\operatorname{HH}^1(B,B)$的一个子空间。利用这一点，我们为$\operatorname{HH}^1(B,B)$的非零性提供了多种群论判据。特别地，我们证明了具有阿贝尔亏群的主块、对称群和交错群的所有块、定义特征下的有限李型群的块，以及任意特征下的一般线性群的块，其$\operatorname{HH}^1(B,B)\neq 0$。在此基础上，我们证明，若$k$具有素数特征$p>5$，且$B$是$kG$的任意具有Sylow亏群的块，则$\operatorname{HH}^1(B,B)\neq 0$。利用相同的方法，我们还证明了，若$k$具有素数特征$p>5$，则任何扭群代数的第一Hochschild上同调群均非零。