单位圆上的正交洛朗多项式、扩展 CMV 排序与二维 Toda 型可积层级

利用支撑在单位圆上的复准定测度构建的 Cantero-Moral-Velazquez 矩矩阵的 Gauss--Borel 分解，将单位圆上的正交洛朗多项式理论与 Toda 类可积系统理论联系起来。矩矩阵的分解导出了单位圆上的正交洛朗多项式及相应的第二类函数。在此视角下，以完全代数的方式获得了投影到截断洛朗多项式特定空间的 Jacobi 算子、5 项递推关系和 Christoffel-Darboux 核，以及相应的 Christoffel-Darboux 公式。Cantero-Moral-Velazquez 洛朗单项式序列被推广，并在该扩展背景下发现了递推关系、Christoffel-Darboux 核（投影到截断洛朗多项式的一般空间）及相应的 Christoffel-Darboux 公式。引入了矩矩阵的连续形变，并展示了它们如何诱导一个与 Toda 型可积系统相关的时间依赖正交性问题，该系统与著名的 Toeplitz 格点相连。利用经典可积性理论工具，获得了 Lax 方程和 Zakharov-Shabat 方程。明确推导了与正交洛朗多项式系数相关的动力学系统，并将其与正测度下 Szeg\H{o} 多项式 Verblunsky 系数的经典 Toeplitz 格点动力学系统进行了比较。引入了离散流并将其与 Darboux 变换联系起来。最后，利用 Miwa 位移的形式体系，以 $\tau$-函数表示了正交洛朗多项式（及其第二类函数），并推导了双线性方程。