混合型多重正交多项式：Gauss-Borel 分解与多分量 2D Toda 层次结构
经典分析与常微分方程
2013-11-07 v4 数学物理
math.MP
可精确求解与可积系统
摘要
在关于半无限矩矩阵的 Gauss-Borel 分解问题的框架下考虑多重正交性。利用 M-Nikishin 系统构造了权函数和有限 Borel 测度的完美组合。这些完美组合确保了混合多重正交性问题具有唯一解，该解可通过求解一个半无限矩阵（充当矩矩阵）的 Gauss-Borel 分解问题得到。这导出了多重正交多项式序列、它们的对偶及第二类函数。还给出了与对偶线性形式双正交的相应线性形式。给出了这些对象用矩矩阵行列式表示的表达式，发现了递推关系，这蕴含了一个蛇形多对角 Jacobi 型矩阵，并在此背景下重新推导了 ABC 定理或 Christoffel-Darboux 公式等结果（利用分解问题和矩矩阵的广义 Hankel 对称性）。讨论了多重正交性的这种描述与多分量 2D Toda 层次结构之间的联系，后者也可通过 Gauss-Borel 分解问题来理解和研究。考虑了 M-Nikishin 系统自然具有的权函数形变，并探讨了其与可积层次结构（表示为 Lax 方程集合）的解的对应关系。确定了相应的 Lax 和 Zakharov-Shabat 矩阵以及波函数及其伴随。讨论了利用涉及多重正交性条件的 Darboux 变换的 Miwa 变换来构造离散流。推导了双线性方程，并给出了多重正交性的 τ 函数表示。
引用
@article{arxiv.1004.3916,
title = {Multiple orthogonal polynomials of mixed type: Gauss-Borel factorization and the multi-component 2D Toda hierarchy},
author = {Carlos Álvarez-Fernández and Ulises Fidalgo Prieto and Manuel Mañas},
journal= {arXiv preprint arXiv:1004.3916},
year = {2013}
}
备注
53 pages. In this version minor revisions regarding the Christoffel-Darboux operators are performed