具有刚性边的正交图绘制

我们考虑在每条边的弯折数受限条件下，绘制 4-平面图（最大度为 4 的平面图）的平面正交图的问题。更确切地说，我们有一个灵活性函数，为每条边 $e$ 分配一个自然数 $\mathrm{flex}(e)$，即其灵活性。FlexDraw 问题询问是否存在一种正交绘制，使得每条边 $e$ 的弯折数至多为 $\mathrm{flex}(e)$。已知若对每条边 $e$ 都有 $\mathrm{flex}(e) = 0$，则 FlexDraw 是 NP-hard 的。另一方面，若对每条边 $e$ 都有 $\mathrm{flex}(e) \ge 1$，则 FlexDraw 可高效求解；若 $\mathrm{flex}(e) \ge 2$，则是平凡的。为了填补 $\mathrm{flex}(e) = 0$ 时的 NP-hardness 与 $\mathrm{flex}(e) \ge 1$ 时的高效算法之间的空白，我们研究了仅有少量边是刚性的（即灵活性为~$0$）时 FlexDraw 的计算复杂性。我们证明，对于任意 $\varepsilon > 0$，当实例中包含 $O(n^\varepsilon)$ 条刚性边且两两距离为 $\Omega(n^{1-\varepsilon})$ 时（包括它们构成匹配的情况），FlexDraw 是 NP-complete 的。另一方面，我们给出了一个运行时间为 $O(2^k\cdot n \cdot T_{\mathrm{flow}}(n))$ 的 FPT 算法，其中 $T_{\mathrm{flow}}(n)$ 是在具有多源多汇的平面流网络中计算最大流所需的时间，$k$ 是至少有一个端点度为 4 的刚性边的数量。