$(\mathbb{P}^r)^n$ 中的轨道与等变量子上同调

我们计算了任意点 $(x_1, \ldots, x_n) \in (\mathbb{P}^r)^n$ 的 $GL_{r+1}$-轨道闭包的 $GL_{r+1}$-等变 Chow 类,用由 $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{P}^r$ 所表示的拟阵的秩多面体表示。利用这些类以及涉及高维射影空间中点构型的推广,我们为每个 $d\times n$ 矩阵 $M$ 在 $\mathbb{P}^r$ 的小等变量子上同调环上定义一个 $n$ 元运算 $[M]_\hbar$,当 $M$ 为可逆矩阵时该运算即为 $n$ 元量子乘积。我们证明 $M \mapsto [M]_\hbar$ 是一个赋值的拟阵多面体关联。如同量子乘积,这些运算满足递归性质,编码了在相对设定下涉及给定模的点构型的计数枚举问题的解。作为一个应用,我们计算了 $\mathbb{P}^r$ 中一般次数 $2r+1$ 超曲面的具有给定模的线段截数,推广了已知的五次平面曲线情形。