$\mathbb{G}(1, 5)$ 中 $\mathrm{PGL}_3$ 轨道闭包的 Chow 环类

平面 $\mathbb{P} V$(其中 $\dim V = 3$)中所有二次曲线束的空间是一个射影 Grassmannian $\mathbb{G} (1, \mathbb{P} \mathrm{Sym}^2 V^*)$,并容许自然的 $\mathrm{PGL}(V)$ 作用。一个经典定理表明该作用恰有八个轨道,并且事实上束 $\ell \subset \mathbb{P} \mathrm{Sym}^2 V^*$ 的轨道完全由其在 Veronese 曲面 $X \subset \mathbb{P} \mathrm{Sym}^2V^*$ (秩 1 二次曲线)及其割线簇 $S(X) \subset \mathbb{P} \mathrm{Sym}^2 V^*$ (秩 2 二次曲线的三次四维流形)中的位置决定。本文给出这些轨道的一些几何描述。然后,混合使用直接的计数技巧与一些陈类计算,给出了该 Grassmannian 的 Chow 环中轨道闭包类的计算(并由此也得到它们在 Pl"ucker 嵌入 $\mathbb{G} (1, \mathbb{P} \mathrm{Sym}^2 V^*)\hookrightarrow \mathbb{P} \Lambda^2 \mathrm{Sym}^2 V^*$ 下的次数)。