优化带重置的 Lévy 飞行的越步长度

我们考虑随机重置条件下的一维搜索过程。目标位于 $b\geq0$，搜索者从原点出发，进行离散时间随机游走，其独立跳跃取自重尾分布。在每次跳跃前，有给定概率 $r$ 将游走从初始位置重置。“近视搜索”——即在首次越过目标时停止搜索——的效率通常以首达时间 $\tau$ 来表征。另一方面，越步长度 $l = x_{\tau} - b$ 也具有重要意义，它衡量搜索结束位置距离目标有多远。对于对称的重尾跳跃分布，在无重置的情况下，平均越步长度始终为无穷大。在此我们表明，如果平均跳跃长度有限，重置会诱导有限的平均越步长度 $\ell_b(r)$。我们精确计算了 $\ell_b(r)$，并确定了重置允许非平凡优化的条件，即存在 $r^*$ 使得 $\ell_b(r^*)$ 最小且小于单次跳跃的平均越步长度。