任意阶有限元和 W1p 范数的最优自适应网格

给定定义在有界二维区域上的函数 f 和一个正整数 N，我们研究在所有最多包含 N 个单元的三角剖分中，使 f 与其在相应有限元空间上的插值之间的距离最小化的三角剖分的性质。误差在 W1p 范数下研究，我们考虑任意多项式阶数 m-1 的拉格朗日有限元。当使用最优各向异性三角剖分时，我们建立了当 N 趋于无穷大时的渐近误差估计。类似问题之前已有研究，但误差是在 Lp 范数下度量的。将该分析扩展到 W1p 范数对于更紧密地匹配数值 PDE 分析的需求至关重要，并且并非易事。特别地，满足最优误差估计的网格由描述每个三角形局部纵横比的度量以及其最大角的几何约束来表征，后一个特征在 Lp 误差范数中并未出现。我们的分析还提供了设计网格的实用策略，使得插值误差满足最优估计（至多相差一个固定的乘法常数）。我们讨论了将结果推广到任意维区域单纯形剖分上的有限元，并给出了二维数值示例。