动力学 Fokker-Planck 方程在域中的最优正则性

我们研究线性动力学 Fokker-Planck 方程在域 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 中带有镜面反射条件下的解的光滑性，包括 Kolmogorov 方程 $\partial_t f +v\cdot\nabla_x f-\Delta_v f=h$。我们的主要结果建立如下： - 在 grazing 集合 $\{x\in\partial\Omega,\ v\cdot n_x=0\}$ 处之外，解始终为 $C^\infty$ 的 $t,v,x$。 - 它们在 grazing 集合处为 $C^{4,1}_{\text{kin}}$。 - 这种正则性是最优的，即我们说明它们通常不属于 $C^5_{\text{kin}}$。这些结果首次表明解在边界处为经典解，即 $C^1_{t,x}$ 和 $C^2_v$。