具有放牧的逻辑斯蒂模型的最优收获

我们考虑如下形式的半线性椭圆方程：\n\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} -\Delta u &= \lambda[u-\dfrac{u^2}{K}-c \dfrac{u^2}{1+u^2}-h(x) u]=:\lambda f_h(u), \quad && x \in \Omega, \frac{\partial u}{\partial \eta}&+qu = 0, \quad && x\in\partial\Omega, \end{aligned} \right. \end{equation*}\n其中，$h\in U=\{h\in L^2(\Omega): 0\leq h(x)\leq H\}.$ 我们证明了对于大$\lambda$，正解的存在唯一性。进一步，我们建立了最优控制$h\in U$的存在性，该控制最大化泛函$J(h)=\int_{\Omega}h(x)u_h(x)~\rm{d}x-\int_{\Omega}(B_1+B_2 h(x))h(x)~\rm{d}x$在$U$上的值，其中$u_h$是与$h$相关的上述问题的唯一正解，$B_1>0$是低努力水平时单位努力的成本，$B_2>0$表示随着雇佣更多劳动力成本上升的速率。最后，我们提供了一个唯一的最优性系统。