弱耦合Logistic系统及其渐近行为的新方法

我们考察弱耦合的椭圆Logistic系统\n\n\begin{equation}\label{LS} \begin{cases} -\Delta u &=\lambda_1 u- |u|^{p-2}u+ \beta |u|^{\frac{p}{2}-2}u |v|{^{\frac{p}{2}-1}}v\mbox{ in }\Omega, -\Delta v &=\lambda_2 v- |v|^{p-2}v+\beta |u|^{\frac{p}{2}-1}u|v|^{\frac{p}{2}-2}v \mbox{ in }\Omega, \ \ u,v &\in H_0^1(\Omega), \end{cases} \tag{$LS$} \end{equation}\n\n其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 为有界域，$N\geq 2$，$2< p < 2^*$，且 $\lambda_1(\Omega)< \lambda_1 \leq \lambda_2$。当 $\beta<0$ 时，我们称该系统为竞争型；当 $\beta>0$ 时，我们称其为合作型，$\beta \in \mathbb{R}$。我们在$\beta$参数范围不同的变分框架中，证明了该问题解的存在性与多重性。我们不依赖于文献中用于Logistic类问题的分支理论或度数理论。相反，新颖之处在于通过利用与Logistic问题相关函数不同几何结构，获得极小极大型解。在$N\geq 2$且满足适当$p$值时，我们扩展了结果，对$\beta$在整条线上的所有情况均存在解，可能还适用于经典情况$N=3$且$p=4$。此外，我们分析了这些解作为$\beta \to 0$或$\beta \to \pm \infty$的渐近行为。