带曲率控制的最优 $C^{1,1}$ 与拟最优 $C^2$ 单调插值

我们研究区间上的单调 Hermite 插值，其中节点处给定了函数值与一阶导数。在所有 $C^{1,1}$ 插值函数中，我们寻找以 $\|F''\|_{L^\infty}$ 衡量曲率最优的一个。本文分析了某些经典方法的局限性，并通过研究最优速度剖面，给出了由二次样条表示的 $C^{1,1}$ 显式最优构造。此外，给定 $E = \{x_1,\cdots,x_N\}$ 和 $f: E\to \mathbb{R}$（不含导数），我们还提供了一个计算相应迹半范数的公式：$$\inf\Bigl\{ \|F''\|_{L^\infty} : F(x)=f(x) \text{ 在 $E$ 上且 } F'\ge 0 \text{ 处处成立} \Bigr\}.$$ 另外，我们还描述了如何将 $C^{1,1}$ 解磨光为 $C^2$ 解，同时保持单调性并牺牲可控程度的优性。