$L^2(\mathbb{R})$ 中与某些平移系统不兼容的算子

我们称闭子空间 $M$ 属于 $L^2(\mathbb{R})$ 的“完备半规则 $a$ 平移集合”如果存在某个 $a>0$，有限的函数 $g_1,\dots,g_N$，以及 $\mathbb{Z}$ 的若干子集 $J_1,\dots,J_N$ 和 $\mathbb{R}$ 的有限子集 $\{\alpha_{1j}\}_{j=1}^{K_1},\dots,\{\alpha_{Nj}\}_{j=1}^{K_N}$，使得 $$M={\overline{\text{span}}}\{g_i(\cdot-ak), ~g_i(\cdot-\alpha_{ij}\,)\, |\,k\in J_i,1\leq j\leq K_i\, \}_{i=1}^N.$$ 这里的 $\cdot$ 表示通用变量。在本文的前半部分，我们证明闭子空间 $M$ 若满足以下任一条件，则不属于完备半规则 $a$ 平移集合：若其在调制下封闭；或其相对于满足 $b\neq 0$ 且 $b^{-1}\notin \mathbb{Z}$ 的缩放因子 $b$ 下封闭。我们还证明，$L^2(\mathbb{R})$ 的任意无限维闭子空间不可能同时在傅里叶变换下封闭且属于 $a^2\in \mathbb{Q}$ 的完备半规则 $a$ 平移集合；而对于任意 $a>0$，都存在闭子空间在反射下封闭且属于完备半规则 $a$ 平移集合。在后半部分，我们证明闭子空间 $M$ 若包含在调制下封闭且包含 $M^1(\mathbb{R})$ 中的非零函数，则不可能形成由平移系统构成的框架。我们也证明，$L^2(\mathbb{R})$ 的闭子空间不可能同时在调制下封闭且由有限生成的平移系统在 $M^1(\mathbb{R})$ 中的函数构成的施瓦茨基基。此外，我们还 presenting了关于在 $L^2(\mathbb{R})$ 的闭子空间中，傅里叶变换与平移框架或施瓦茨基基共存的不兼容性的相关结果。本半部分的所有结果可推广至 $L^2(\mathbb{R}^d)$（$d>1$）。