关于字符串代数 zeta 函数与 $\mu$-级数

设$\overline\mu_\Lambda(t):=\sum\limits_{m\geq1}\mu_\Lambda(m)t^m$为有限维 tame 代数$\Lambda$的$\mu$级数，其中$\mu_\Lambda(m)$表示总维数为$m$的$\Lambda$-模 one-parameter 家族的最小数量。当$\Lambda$为 string algebra且$\mathrm{Ba}(\Lambda)$为其带至循环置换的 band 集合时，定义其 zeta 函数$\zeta_\Lambda(t):=\prod\limits_{\mathfrak b\in\mathrm{Ba}(\Lambda)}(1-t^{|\mathfrak b|})^{-1}$，其中$|\mathfrak b|$为$\mathfrak b$的长度。我们证明了string algebra的素数定理类比，并据此得出非 domestic string algebra 指数增长。最后，我们证明 string algebra 当且仅当其$\mu$级数为有理函数时为 domestic。