关于两个半二面体群的 Zappa-Szép 积

设 $n, m \ge 4$。我们根据 $\langle x\rangle$ 和 $\langle z\rangle$ 在 $G$ 中的核，对满足 $H = \langle x\rangle \rtimes \langle y\rangle \cong \mathrm{SD}_{2^n}$ 和 $K = \langle z\rangle \rtimes \langle w\rangle \cong \mathrm{SD}_{2^m}$ 的 Zappa-Szép 积 $G = HK$ 进行分类。首先，当 $\langle x\rangle$ 和 $\langle z\rangle$ 在 $G$ 中均正规时，我们通过一个由六个多项式同余式构成的显式系统，得到了此类正合积的完全分类。其次，当核 $\langle x\rangle^G$ 和 $\langle z\rangle^G$ 分别是 $\langle x\rangle$ 和 $\langle z\rangle$ 的任意子群时，在简化假设 $[x, z] = 1$ 下，我们通过十二个同余式以及两个阶条件得到了类似的分类；这是 Hu-Yu 二面体群分类 \cite{HuYu2025} 的半二面体对应版本。与二面体情形不同，我们进一步构造了一个显式的正合积，其两个核均非平凡且 $[x, z] \ne 1$，表明半二面体情形下的参数空间严格丰富于其二面体类似情形。