对称图案的半完美着色的枚举与识别

若 $G$ 是无色图案的对称群，则当关联的颜色群 $H$ 是 $G$ 的指数为 2 的子群时，该图案的着色称为半完美着色。我们给出了如何识别和枚举某些图案的所有不等价半完美着色的结果。这是通过将着色视为 $G$ 的一个划分 $\{hJ_iY_i:i\in I,h\in H\}$ 来实现的，其中 $H$ 是 $G$ 中指数为 2 的子群，$J_i\leq H$ 对 $i\in I$ 成立，且 $Y=\cup_{i\in I}{Y_i}$ 是 $H$ 在 $G$ 中的右陪集代表元的一个完全集。我们还给出了不等价半完美着色之间的一一对应关系，这些着色的关联颜色群是关于 $\mathbf{R}^n$ 等距群中 $G$ 的正规化子共轭的子群。