关于 $\mathbb{C}^2$ 多项式自同构的加权双次数

设 $F=(F_1,F_2):\mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ 为一个多项式自同构。众所周知，$\deg F_1 \mid \deg F_2$ 或 $\deg F_2 \mid \deg F_1$。另一方面，若 $(d_1,d_2) \in (\mathbb{N}\setminus\{0\})^2$ 满足 $d_1 \mid d_2$ 或 $d_2 \mid d_1$，则可构造一个 $\mathbb{C}^2$ 的多项式自同构 $F=(F_1,F_2)$，使得 $\deg F_1=d_1$ 且 $\deg F_2=d_2$。固定 $w=(w_1,w_2) \in (\mathbb{N}\setminus\{0\})^2$，考虑 $\mathbb{C}[x,y]$ 上的加权次数，其中 $\operatorname{wdeg} x=w_1$ 且 $\operatorname{wdeg} y=w_2$。本文探讨了集合 $\{(\operatorname{wdeg} F_1,\operatorname{wdeg} F_2) : (F_1,F_2) \text{ 是 } \mathbb{C}^2 \text{ 的自同构}\}$ 的结构。