C^n 的驯顺自同构的多重次数

设 F=(F_1,...,F_n):C^n --> C^n 是一个多项式映射。映射 F 的多重次数是指 mdeg F=(deg F_1,...,deg F_n)，它是 N^n 中的一个元素。本文旨在研究以下问题（特别是当 n=3 时）：对于 N^n 中的序列 (d_1,...,d_n)，何时存在 C^n 的驯顺自同构 F 使得 mdeg F=(d_1,...,d_n)。换句话说，我们研究集合 mdeg(Tame(C^n))，其中 Tame(C^n) 表示 C^n 的驯顺自同构群，mdeg 表示从 C^n 的多项式自同态集合到集合 N^n 的映射。由于对于 {1,...,n} 的所有置换 s，我们有 (d_1,...,d_n) 属于 mdeg(Tame(C^n)) 当且仅当 (d_s(1),...,d_s(n)) 属于 mdeg(Tame(C^n))，因此我们可以关注 mdeg(Tame(C^n)) 与 {(d_1,...,d_n) : d_1<=...<=d_n} 的交集。在本文中，除其他内容外，我们给出了以下集合的完整描述：mdeg(Tame(C^n)) 与 {(3,d_2,d_3):3<=d_2<=d_3} 的交集；mdeg(Tame(C^n)) 与 {(5,d_2,d_3):5<=d_2<=d_3} 的交集。在考察最后一个集合时，最困难的部分是证明 (5,6,9) 不在 mdeg(Tame(C^n)) 中。作为用于证明 (5,6,9) 不在 mdeg(Tame(C^n)) 中的方法的一个令人惊讶的推论，我们得到了一个结果，该结果指出，存在 mdeg F=(37,70,105) 的 C^3 的驯顺自同构 F 意味着二维 Jacobian 猜想不成立。此外，我们还给出了以下集合的完整描述：mdeg(Tame(C^n)) 与 {(p_1,p_2,d_3):3<=p_1<p_2<=d_3} 的交集，其中 p_1 和 p_2 是素数；mdeg(Tame(C^n)) 与 {(d_1,d_2,d_3):d_1<p_2<=d_3} 的交集，其中 d_1 和 d_2 是满足 gcd(d_1,d_2)=1 的奇数。利用对最后一个集合的描述，我们证明了集合 mdeg(Aute(C^n))\mdeg(Tame(C^n)) 是无限的。