具有齐次共形无穷远的共形紧致爱因斯坦度量的唯一性与存在性

本文证明了对于 $S^3$ 上接近标准球度量的广义 Berger 度量 $\hat{g}$,以 $(S^3, [\hat{g}])$ 为共形无穷远的共形紧致爱因斯坦(CCE)流形 $(M, g)$ 在等距意义下是唯一的。对于高维情形,我们证明了若 $\hat{g}$ 是 $k\geq1$ 时 $S^{2k+1}$ 上的 $\text{SU}(k+1)$-不变度量,则以 $(S^{2k+1}, [\hat{g}])$ 为共形无穷远的 $(2k+1)$-球 $B_1(0)$ 上的非正曲率 CCE 度量在等距意义下是唯一的。特别地,由于在 \cite{LiQingShi} 中我们已证明,若共形无穷远的 Yamabe 常数 $Y(S^{2k+1}, [\hat{g}])$ 接近标准球面的相应值,则填充其中的任何 CCE 流形必为负曲率且单连通,因此若 $\hat{g}$ 是 $S^{2k+1}$ 上接近标准球度量的 $\text{SU}(k+1)$-不变度量,则填充的 CCE 度量在等距意义下唯一。利用连续性方法,我们证明了当度量 $\hat{g}$ 为 $\text{SU}(k+1)$-不变时,具有给定共形无穷远 $(S^{2k+1}, [\hat{g}])$ 的非正曲率 CCE 度量的存在性结果。