实二次域中三次二次剩余符号

我们引入实二次域中有限素数 $\mathfrak{p}_i$ 的三次二次剩余符号 $[\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \mathfrak{p}_3]$。为此，我们确定了在 $\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \mathfrak{p}_3$ 以及无穷素数之外均不分裂的扩张，对最大二次 Galois 扩张的 Galoo 群的表述，从而推导出模 2 算术三次 Milnor 不变式 $\mu_2(123)$，从而得到三次剩余符号 $[\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \mathfrak{p}_3] = (-1)^{\mu_2(123)}$。我们的符号 $[\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \mathfrak{p}_3]$ 描述了 $\mathfrak{p}_3$ 在由 $\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2$ 决定的次数为 8 的二面体扩张 $K$ 中的分解规律。扩张 $K$ 及我们的符号 $[\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \mathfrak{p}_3]$ 是 R\'{e}dei 关于 $\mathbb{Q}$ 的二面体扩张和 R\'{e}dei 关于有理素数的三次剩余符号的在实二次域上的推广。我们给出实二次域上的 R\'{e}dei 类型扩张 $K$ 的示例。我们还给出符号在 Massey 积中的协象论解释。