关于传递集的宽度：有限群矩阵系数的界

我们说 $\mathbf{R}^d$ 中单位球面上的有限子集是传递的，如果存在等距群在其上传递作用。我们证明任何传递集的宽度以上界为某常数乘 $(\log d)^{-1/2}$。这是如下结果的推论：若 $G$ 是有限群且 $\rho : G \rightarrow \mbox{U}_d(\mathbf{C})$ 是酉表示，且若 $v \in \mathbf{C}^d$ 为单位向量，则存在另一单位向量 $w \in \mathbf{C}^d$ 使得 $$\sup_{g \in G} |\langle \rho(g) v, w \rangle| \leq (1 + c \log d)^{-1/2}.$$ 这些结果回答了 Yufei Zhao 的一个问题。我们结果的一个直接推论是：单位球面被等距有限群 $G$ 作出的任何商 $S(\mathbf{R}^d)/G$ 的直径至少为 $\pi/2 - o_{d \rightarrow \infty}(1)$。