基于校定法的三维单位向量场体积研究

我们给出了一个关于已知结论的新证明：即 $\mathbb{S}^3(r)$ 上体积最小的向量场为 Hopf 向量场。该证明再次依赖于校定理论，此处源于一组自然微分形式所给出的系统视角。我们的结果特别对所有 $r$ 均成立。我们对任意常截面曲率的有向三维流形 $M$ 在 $T^1M$ 上的相关校定进行了分类，延续了对黎曼几何中\textit{通常}基本微分系统的研究。展示该微分系统的应用也是本文的目的之一。我们推导了空间形式测地流向量场的新性质，其在椭圆与双曲几何中（任意维数）均与最小体积问题的解相互作用。三维双曲情形下的解——尚属未知——最依赖于向量场定义域的同调类与边界值。我们通过一个值得注意的例子加以说明，该例子讽刺地仅对曲率 $-1$ 成立。