关于 Shafarevich--Tate 群的可视化范畴

给定椭圆曲线 $E$ 关于 $\Q$ 上的一个非平凡元素 $\sigma$，其 Shafarevich--Tate 群 $\Sha(E)$ 中，我们引入“可视化范畴” $\V(E; \sigma)$，该范畴包含“可视化” $\sigma$ 的 abelian variety，即按 Mazur 的定义。我们研究该范畴中的最小对象。特别是，我们证明该范畴中可以存在多个不同维度的最小可视化 abelian variety，从而回答了 Mazur 的问题。我们重访两种可视化 abelian variety 的构造方法：Agashe 和 Stein 工作中使用的限制标量（restriction of scalars），以及 Cremona 和 Mazur 工作中 de Jong 所著的构造。我们证明限制标量通常会产生最小可视化对象。当 $\sigma$ 的阶为 $2$ 或 $3$ 时，我们在 de Jong 构造之上进行推导，使其完全显式化。虽然 de Jong 构造可以产生非最小对象，但对于阶为 $2$ 的元素 $\sigma$，适当的选择可产生一条其 Jacobian 为最小可视化对象的 genus $2$ 曲线。对于阶为 $3$ 的元素，我们将我们的算法化构建应用于 Fisher 的此类元素数据库，获得计算证据表明，在不存在 $3$-异构的情形下，de Jong 构造会产生最小可视化对象。