关于利用分数阶微积分对随机变量进行概率表征的研究

本文重新审视了随机变量概率表征的经典问题。随机变量通常由概率密度函数（PDF）或其傅里叶变换，即特征函数（CF）来描述。CF 可以进一步通过涉及随机变量矩的泰勒级数来表达。然而，在某些情况下，矩并不存在，此时 CF 的泰勒展开便失去作用。例如在 $\alpha$-稳定随机变量的情况下就会发生这种现象。本文通过引入分数阶微积分来探讨随机变量（r.vs）的 CF 或 PDF 的表示问题。获得了两个非常显著的结果。首先，证明了 CF 在零点处的分数阶导数与分数阶矩相一致。这在 CF 于零点处不可导的情况下（如 $\alpha$-稳定随机变量的 CF）同样成立。此外，证明了 CF 可以通过涉及分数阶矩的广义泰勒展开来表示。所提出的广义泰勒级数还能以与 CF 表示完全对偶的形式来表示 PDF。基于分数阶矩的 PDF 表示在尾部尤为精确，这在工程问题中非常重要，例如结构安全估计。