紧流形上不可压缩欧拉方程的普适性

在紧黎曼流形 $(M,g)$ 上的不可压缩欧拉方程形如 \begin{align*} \partial_t u + \nabla_u u &= - \mathrm{grad}_g p \mathrm{div}_g u &= 0. \end{align*} 我们证明，任意二次常微分方程 $\partial_t y = B(y,y)$（其中 $B : {\bf R}^n \times {\bf R}^n \to {\bf R}^n$ 是对称双线性映射）都能线性嵌入到某个流形 $M$ 的不可压缩欧拉方程中，当且仅当对于 ${\bf R}^n$ 上某个正定内积 $\langle,\rangle$，$B$ 满足消去条件 $\langle B(y,y), y \rangle = 0$。这使得人们能够构造具有各种动力学特征的欧拉方程显式解，例如拟周期解，或从一种稳态过渡到另一种稳态的解，并为此类欧拉流的“图灵普适性”提供了证据。