关于双曲双空间的总体积

本文提出\emph{双曲双空间} $\mathbb{DH}^n$ 作为双曲空间 $\mathbb{H}^n$ 的推广，它包含一个双叶双曲面，两叶在无穷远边界处彼此相连。我们提议将 $\mathbb{H}^n$ 中凸多面体的体积推广到 $\mathbb{DH}^n$ 中的多面体，该体积在等距变换下不变但可能取复数值。我们证明了 $\mathbb{DH}^n$ 的总体积对偶数和奇数维均等于 $i^n V_n(\mathbb{S}^n)$，并证明了 $\mathbb{DH}^n$ 的一个施拉夫利微分公式（\SDF{}）。对于奇数 $n$，证明了 $\mathbb{DH}^n$ 中多面体的体积完全由其与 $\partial\mathbb{H}^n$ 的交确定，并诱导出 $\partial\mathbb{H}^n$ 上一个在 M"{o}bius 变换下不变的新的内蕴\emph{体积}。