关于Helmholtz方程解的三球定理

设 $u_k$ 为波数 $k$ 的Helmholtz方程解，$\Delta u_k+k^2 u_k=0$，定义在 $\mathbb{R}^n$、$\mathbb{S}^n$ 或 $\mathbb{H}^n$ 中的小球上。对固定点 $p$，我们定义 $M_{u_k}(r)=\max_{d(x,p)\le r}|u_k(x)|.$ 如下三球不等式 $M_{u_k}(2r)\le C(k,r,\alpha)M_{u_k}(r)^{\alpha}M_{u_k}(4r)^{1-\alpha}$ 是众所周知的，它对某 $\alpha\in (0,1)$ 及独立于 $u_k$ 的 $C(k,r,\alpha)>0$ 成立。我们证明常数 $C(k,r,\alpha)$ 随 $k$ 指数增长(当 $r$ 固定且较小时)。我们还将结果与Riemann流形上Helmholtz方程Cauchy问题解的稳定性增强作了比较。