穿孔域上的超临界平均场方程

我们考虑问题 (P_\eps)\qquad \Delta u +\lambda {e^{u}\over\int\limits_{\Omega\setminus B(\xi,\eps)}e^u}=0\ \hbox{in}\ \Omega\setminus B(\xi,\eps),\quad u =0\ \hbox{on}\ \partial\(\Omega\setminus B(\xi,\eps)\), 其中 $\Omega$ 是 $\rr^2$ 中包含点 $\xi$ 的光滑有界开区域。我们证明，如果 $\lambda>8\pi,$ 问题 $(P_\eps)$ 存在解 $u_\eps$，使得当 $\eps$ 趋于零时，$$u_\eps(x)\to {8\pi+ \lambda\over2} G(x,\xi) \ \hbox{uniformly on compact sets of $\Omega\setminus\{\xi\}$}$$ 此处 $G$ 表示 $\Omega$ 中 Dirichlet Laplacian 的 Green 函数。如果 $\lambda\not\in 8\pi \mathbb N$，我们将不对 $\Omega$ 作任何对称性假设；而如果 $\lambda \in 8\pi \mathbb N$，我们将假设 $\Omega$ 关于点 $\xi$ 旋转角度 ${8\pi^2\over \la }$ 不变。