从 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}$ 的一致商映射与 Lipschitz 商映射水平集的结构

我们研究 Johnson、Lindenstrauss、Preiss 和 Schechtman 提出的关于从 $R^n\to R$ 的一致商映射与 Lipschitz 商映射水平集结构的两个问题。我们证明:若 $f:R^n\to R$, $n\geq 2$, 是一致商映射,则对每个 $t\in R$, $f^{-1}(t)$ 具有有界个连通分支,且 $f^{-1}(t)$ 的每个连通分支分离 $R^n$,连通分支数的上界仅依赖于 $n$ 以及 $f$ 的共一致连续模与一致连续模。接着我们得到一类闭的、遗传局部连通的、局部紧的、连通的、无端点且不含简单闭曲线的集合的形式刻画,并将其应用于描述共 Lipschitz 一致连续映射 $f:R^2\to R$ 的水平集结构。我们证明从 $R^2$ 到 $R$ 的任意共 Lipschitz 一致连续映射的所有水平集都是局部连通的,并证明对每一组常数 $c>0$ 与满足 $\lim_{r\to 0}\Omega(r)=0$ 的函数 $\Omega$,存在自然数 $M=M(c,\Omega)$,使得对每个共 Lipschitz 常数为 $c$、一致连续模为 $\Omega$ 的共 Lipschitz 一致连续映射 $f:R^2\to R$,存在自然数 $n(f)\le M$ 与有限集 $T_f\subset R$ 满足 $\card(T_f)\leq n(f)-1$,使得对所有 $t\in R\setminus T_f$, $f^{-1}(t)$ 恰有 $n(f)$ 个连通分支, $R^2\setminus f^{-1}(t)$ 恰有 $n(f)+1$ 个连通分支,且 $f^{-1}(t)$ 的每个连通分支同胚于实直线并将平面恰好分离为 2 个连通分支。$f^{-1}(s)$(对 $s\in T_f$)的连通分支的数量与形式亦被描述——它们具有有限图结构。我们给出一个从 $R^2\to R$ 的具有非局部连通水平集的一致商映射的例子。