拓扑向量空间中一阶线性递推的稳定性

假设 $\mathcal{X}$ 是标量域 $\mathbb{K}$ 上的序列完备 Hausdorff 局部凸空间，$V$ 是 $\mathcal{X}$ 的有界子集，$(a_n)_{n\ge 0}$ 是 $\mathbb{K}\setminus\{0\}$ 中满足 $\ds\liminf_{n\to\infty} |a_n|>1$ 的序列，$(b_n)_{n\ge 0}$ 是 $\mathcal{X}$ 中的序列。我们证明：对于 $\mathcal{X}$ 中满足 \begin{eqnarray*} x_{n+1}-a_nx_n-b_n\in V\q(n\geq 0) \end{eqnarray*} 的任意序列 $(x_n)_{n\ge 0}$，存在唯一的序列 $(y_n)_{n\ge 0}$ 满足递推关系 $y_{n+1}=a_ny_n+b_n\,\,(n\geq 0)$，并且对于每个满足 $1<q<\ds\liminf_{n\to\infty} |a_n|$ 的 $q$，存在 $n_0\in \mathbb{N}$ 使得 \begin{eqnarray*} x_n-y_n\in \ds\f{1}{q-1}\ov{conv(V^b)}\q (n\geq n_0). \end{eqnarray*}