关于三角形最长边平分过程的相似类稳定性、复杂性与分布
计算几何
2026-04-21 v3 组合数学
摘要
三角形的最长边平分是通过将其最长边的中点与对角顶点相连来完成的。迭代应用此过程可产生一个无限的三角形族。令人惊讶的是，Stynes（1980）的一个经典结果表明，对于任何初始三角形，该无限族中的元素可归入有限多个相似类。尽管类的集合是有限的，但结果表明，一个小得多的周期性“胖”三角形子集实际上主导了最终的网格结构。该子集由长度为 4 的周期轨道组成，我们将其称为{\bf 终端四元组}。我们证明了以下渐近面积分布结果：对于每个初始三角形，这些终端四元组占据的面积比例趋于 1，且收敛以指数速率发生。事实上，我们提供了每一步中三角形的精确分布。我们引入了{\bf 平分图}并使用谱方法证明了该结果。鉴于这种主导地位，我们对拥有单一终端四元组的三角形提供了完整刻画，同时反面展示了具有无界数量终端四元组的三角形序列。此外，我们揭示了终端四元组各点的若干基本几何性质，为研究整个轨道的几何分布奠定了基础。
引用
@article{arxiv.2601.13663,
title = {On the stability, complexity, and distribution of similarity classes of the longest edge bisection process for triangles},
author = {Daniel Kalmanovich and Yaar Solomon},
journal= {arXiv preprint arXiv:2601.13663},
year = {2026}
}
备注
20 pages, 7 figures