平面上有理四边形对四边形的逼近

许多关于具有有理边、对角线和面积的三角形和四边形的问题可以转化为求解特定的丢番图方程。我们考察了若干此类问题，包括用具有有理边、对角线和面积的三角形和四边形来逼近任意三角形和四边形的问题。我们将这些问题转化为关于一个双参数四次曲线族上是否存在无穷多有理解的问题。这被进一步转化为一个双参数椭圆曲线族，从而推导出我们关于直线上与三个共线点距离为有理数的点的密度的主要结果（定理 4）。由此我们推导出有理四边形在所有四边形空间中稠密的新证明（定理 39）。本文的另一项主要结果（定理 3）关于有理三角形的密度，这与分析单位圆上的有理点有关。有趣的是，这使我们能够推导出具有有理边和面积的平行四边形在所有平行四边形类别中是稠密的。我们还给出了利用局部乘积结构判定拓扑空间中某些集合稠密性的准则，并在附录部分证明了稠密性定理 6。该定理的一个应用证明了定理 31 中所述的有理点的稠密性。