边标记三角剖分翻转的轨道猜想证明

给定平面点集的一个三角剖分，\emph{翻转}操作删除一条边 $e$（其移除后留下一个凸四边形），并用该四边形的另一条对角线替换 $e$。众所周知，点集的任何三角剖分都可以通过一系列翻转重配置为任何其他三角剖分。我们在三角剖分的每条边都带有标签，且翻转操作将被移除边的标签转移至新边的设定下探讨此问题。并非点集的每个标记三角剖分都能通过一系列翻转重配置为任何其他标记三角剖分。我们通过证明 Bose、Lubiw、Pathak 和 Verdonschot 提出的\emph{轨道猜想}来刻画此种情况何时可能成立，该猜想指出：\emph{所有}标签能同时映射到其目标位置，当且仅当\emph{每个}标签 individually 能映射到其目标位置。此外，若存在这样的序列，我们给出了一个多项式时间算法来寻找将一种标记三角剖分重配置为另一种的翻转序列，并证明了翻转序列长度的上界为 $O(n^7)$。我们的证明利用了一个拓扑结果：平面点集上两两不相交边的集合构成一个单纯复形，该复形同胚于一个高维球（这源于 Orden 和 Santos 的结果；我们基于剥壳论证给出了不同的证明）。该单纯球的对偶胞腔复形称为\emph{翻转复形}，其 $1$-骨架即为通常的翻转图。我们利用翻转复形 $2$-骨架的性质证明了轨道猜想。