完全多部图在三角翻折意义下的绘图

对于带标号图的绘图，一个顶点或交叉点的旋转是其关联边的循环次序，由这些边另一端的标号表示。该绘图的扩展旋转系统（ERS）是所有顶点与交叉点旋转的汇集。若每对边至多有一个公共点，则称绘图为简单绘图。Gioan 定理指出，对于任意两个具有相同交叉边对的完全图 $K_n$ 的简单绘图，可通过一串三角翻折（亦称第三类 Reidemeister 变换）将一个绘图变换为另一个。该操作指借助局部变换，将三条两两相交边构成的三角形单元的一条边移过该单元的对侧交叉点。我们研究在多大程度上可为更广的图类获得 Gioan 型定理。两个图的绘图可通过一串三角翻折相互变换的一个必要（但一般非充分）条件是它们具有相同的 ERS。作为我们的主要结果，我们证明对于完全多部图这一大类图，该必要条件实际上也是充分的。我们给出该结果的两种不同证明，其中一种较短，另一种则给出一个多项式时间算法，其对 $n$ 个顶点图所需的三角翻折次数以 $O(n^{16})$ 为界。后一证明使用了完全多部图简单绘图的一个 Carathéodory 型定理，我们相信其具有独立意义。此外，我们表明我们的完全多部图 Gioan 型定理本质上是紧的：在移除或添加极少边时，具有相同 ERS 不再充分。