关于一类混合型算子的谱及其在旋转波解中的应用

我们研究非线性波动方程的旋转波解 $$\left\{ \begin{aligned} \partial_{t}^2 v - \Delta v + m v & = |v|^{p-2} v \quad && \text{in $\mathbb{R} \times \mathbf{B}$} \\ v & = 0 && \text{on $\mathbb{R} \times \partial \mathbf{B}$} \end{aligned} \right.$$ 其中 $2<p<\infty$，$m \in \mathbb{R}$ 且 $\mathbf{B} \subset \mathbb{R}^2$ 表示单位圆盘。若旋转的角速度 $\alpha$ 大于 $1$，则导致 $\mathbf{B}$ 上一个涉及混合型算子的半线性边值问题，其谱与贝塞尔函数的零点相关且一般可能性质很差。基于对这些零点的新估计，我们找到了使该谱仅由有限重数的特征值组成且无聚点的 $\alpha$ 值。结合适当的谱估计，这使我们能建立合适的不定变分框架，并对 $p \in (2,4)$ 求出约化方程的基态解。利用基态能量的极小极大刻画，我们最终证明这些基态是非径向的，从而在 $m$ 足够大时给出非平凡的旋转波。